Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{t^{2}}{4})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = \frac{t^{2}}{4}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{t^{2}}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{t^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{t^{2}}{4}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{t^{2}}{4}$ .

$1 \frac{4}{t^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Paso 3

Multiplica $\frac{4}{t^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4}{t^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{4}]$

Paso 4

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{t^{2}}{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{4}{t^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{t^{2}}$ .

$\frac{4}{4 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{t^{2}} (2 t)$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $2$ y $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\frac{2}{t^{2}} t$

Paso 7.2

Combina $\frac{2}{t^{2}}$ y $t$ .

$\frac{2 t}{t^{2}}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $t$ y $t^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $t$ de $2 t$ .

$\frac{t \cdot 2}{t^{2}}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot 2}{t \cdot t}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{t \cdot 2}{t \cdot t}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{t}$