Cálculo Ejemplos

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (t + 1) - 0.5 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{1}{t + 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

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Paso 3.1

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 0.5 t$ con respecto a $t$ es $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Para escribir $- 0.5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Paso 4.2

Combina $- 0.5$ y $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$