Cálculo Ejemplos

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Paso 1.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ y $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t^{2} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Paso 5.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t^{2}$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Paso 5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Paso 5.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $4 t$ y $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

Paso 5.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

Paso 6

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $t$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Paso 6.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Paso 6.3

Suma $1$ y $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4

Combina los términos.

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Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.3

Multiplica $t^{3}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.3.1

Mueve $t^{2}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.3.3

Suma $2$ y $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.4

Mueve $16$ a la izquierda de $t^{5}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.5

Multiplica $16$ por $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Paso 7.4.6

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

Paso 7.4.7

Mueve $- 8$ a la izquierda de $t^{3}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

Paso 7.4.8

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

Paso 7.5

Reordena los términos.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Paso 7.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.1

Reescribe ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ como $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

Paso 7.6.2

Expande $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

Paso 7.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

Paso 7.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.3.1.2.1

Mueve $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 7.6.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

Paso 7.6.3.2

Resta $2 t^{2}$ de $- 2 t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

Paso 7.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Paso 7.6.5

Simplifica.

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Paso 7.6.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Paso 7.6.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

Paso 7.6.5.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.6.6.1

Multiplica $t$ por $t^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.6.1.1

Mueve $t^{4}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6.1.2

Multiplica $t^{4}$ por $t$ .

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Paso 7.6.6.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6.1.3

Suma $4$ y $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Paso 7.6.6.3

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.6.6.3.1

Mueve $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

Paso 7.6.6.3.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 7.6.6.3.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

Paso 7.6.6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

Paso 7.6.6.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

Paso 7.6.6.4

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

Paso 7.7

Suma $48 t^{5}$ y $24 t^{5}$ .

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

Paso 7.8

Resta $24 t^{3}$ de $- 24 t^{3}$ .

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$