Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{1 - 2 t}{t + 3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = 1 - 2 t$ y $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [- 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2 t$ con respecto a $t$ es $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 3) (- 2 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t + 3) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(t + 3) \cdot - 2 - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $t + 3$ .

$\frac{- 2 \cdot (t + 3) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 + 2 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $- 2 t - 6 - 1 + 2 t$ .

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Paso 3.3.2.1

Suma $- 2 t$ y $2 t$ .

$\frac{0 - 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$\frac{- 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $1$ de $- 6$ .

$\frac{- 7}{{(t + 3)}^{2}}$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{{(t + 3)}^{2}}$