Cálculo Ejemplos

$\cos (\sqrt{8 t + 11})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{8 t + 11}$ como ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\cos ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 8 t + 11$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 8.3

Mueve ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $8 t + 11$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Paso 10

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8 t$ con respecto a $t$ es $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Paso 12

Multiplica $8$ por $1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d t} [11])$

Paso 13

Como $11$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $11$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0)$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Suma $8$ y $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8$

Paso 14.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.3

Combina $- 8$ y $\frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 14.4

Factoriza $2$ de $- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.1

Factoriza $2$ de $2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$