Cálculo Ejemplos

$\arccos (e^{- t})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \arccos (t)$ y $g (t) = e^{- t}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arccos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{- t}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{- t})}^{2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- t})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- t \cdot 2}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $e^{- t}$ y $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ .

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [- t]$

Paso 4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} (- \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ por $1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}} \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$ por $1$ .

$\frac{e^{- t}}{\sqrt{1 - e^{- 2 t}}}$