Cálculo Ejemplos

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $a (1 - e^{- k t}) + b$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

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Paso 2.1

Como $a$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $a (1 - e^{- k t})$ con respecto a $t$ es $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- k t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- e^{- k t}$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - k t$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.6

Como $- k$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- k t$ con respecto a $t$ es $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.10

Multiplica $e^{- k t}$ por $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 2.11

Suma $0$ y $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Paso 3

Como $b$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $b$ con respecto a $t$ es $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $a e^{- k t} k$ y $0$ .

$a e^{- k t} k$

Paso 4.2

Reordena los factores de $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Paso 4.3

Reordena los factores en $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$