Cálculo Ejemplos

$2 \cot^{2} (π t + 2)$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 \cot^{2} (π t + 2)$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (π t + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (π t + 2)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cot (π t + 2)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cot (π t + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cot (π t + 2)$ .

$2 (2 \cot (π t + 2) \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Paso 3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (\cot (π t + 2) \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cot (t)$ y $g (t) = π t + 2$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π t + 2$ .

$4 \cot (π t + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Paso 4.2

La derivada de $\cot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$4 \cot (π t + 2) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π t + 2$ .

$4 \cot (π t + 2) (- \csc^{2} (π t + 2) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \cot (π t + 2) (\csc^{2} (π t + 2) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $π t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [2])$

Paso 5.3

Como $π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $π t$ con respecto a $t$ es $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

Paso 5.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π + \frac{d}{d t} [2])$

Paso 5.6

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π + 0)$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Suma $π$ y $0$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) π$

Paso 5.7.2

Reordena los factores de $- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) π$ .

$- 4 π \csc^{2} (π t + 2) \cot (π t + 2)$