Cálculo Ejemplos

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

Paso 1

Como $10$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ con respecto a $t$ es $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = 2^{t}$ y $g (t) = - t$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- t$ .

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $2^{- t} \ln (2)$ .

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 \cdot 2^{- t}$ como $- 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

Paso 5

Multiplica $2^{- t}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $2^{- t}$ .

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

Paso 5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Paso 6.4

Reordena los factores en $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ .

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$