Cálculo Ejemplos

$7 t e^{- \frac{t}{15}}$

Paso 1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $7 t e^{- \frac{t}{15}}$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{15}}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{15}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = e^{- \frac{t}{15}}$ .

$7 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{15}}] + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = - \frac{t}{15}$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{t}{15}$ .

$7 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$7 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{t}{15}$ .

$7 (t (e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{15}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{t}{15}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{15} \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (t (e^{- \frac{t}{15}} (- \frac{1}{15} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $e^{- \frac{t}{15}}$ y $\frac{1}{15}$ .

$7 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{15}}}{15} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.2.2

Combina $t$ y $\frac{e^{- \frac{t}{15}}}{15}$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}} \cdot 1)$

Paso 4.6

Multiplica $e^{- \frac{t}{15}}$ por $1$ .

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15}) + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

Paso 5.2.2

Combina $- 7$ y $\frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15}$ .

$\frac{- 7 (t e^{- \frac{t}{15}})}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$