Cálculo Ejemplos

$500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

$\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

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Paso 2.1

Como $500$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $500 t$ con respecto a $t$ es $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Paso 2.3

Multiplica $500$ por $1$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

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Paso 3.1

Combina $\frac{4200}{π}$ y $\sin (\frac{π t}{12})$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}]$

Paso 3.2

Como $\frac{4200}{π}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}$ con respecto a $t$ es $\frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$ .

$500 + \frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = \frac{π t}{12}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Paso 3.4

Como $\frac{π}{12}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π t}{12}$ con respecto a $t$ es $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Paso 3.6

Multiplica $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{π}{12})$

Paso 3.7

Combina $\cos (\frac{π t}{12})$ y $\frac{π}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} \cdot \frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$

Paso 3.8

Multiplica $\frac{4200}{π}$ por $\frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$ .

$500 + \frac{4200 (\cos (\frac{π t}{12}) π)}{π \cdot 12}$

Paso 3.9

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$500 + \frac{4200 \cos (\frac{π t}{12}) π}{12 \cdot π}$

Paso 3.10

Cancela el factor común de $4200$ y $12$ .

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Paso 3.10.1

Factoriza $12$ de $4200 \cos (\frac{π t}{12}) π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Paso 3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.1

Factoriza $12$ de $12 π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 (π)}$

Paso 3.10.2.2

Cancela el factor común.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Paso 3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.11.1

Cancela el factor común.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Paso 3.11.2

Divide $350 \cos (\frac{π t}{12})$ por $1$ .

$500 + 350 \cos (\frac{π t}{12})$