Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ y $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 12 x^{2}] - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 2.4

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 12 (2 x)) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - (x^{4} - 12 x^{2}) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{2} (4 x^{3} - 24 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x^{2} - 4$ de $- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) + (x^{2} - 4) (- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $x^{2} - 4$ de $(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)) + (x^{2} - 4) (- 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2} - 4$ de ${(x^{2} - 4)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]))}{(x^{2} - 4) {(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 2 (x^{4} - 12 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 4 (x^{4} - 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 12 x^{2})) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Expande $(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 24 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 24 x) - 4 (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3} - 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.2.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 24 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{2} x - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 10.3.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 (x^{1} x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{1 + 2} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.5

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 16 x^{3} - 4 (- 24 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.1.6

Multiplica $- 24$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 24 x^{3} - 16 x^{3} + 96 x - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.2.2

Resta $16 x^{3}$ de $- 24 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{4} x - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 10.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.3.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 10.3.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} - 4 (- 12 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.1.5

Multiplica $- 12$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{5} - 40 x^{3} + 96 x - 4 x^{5} + 48 x^{3}$ .

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Paso 10.3.2.1

Resta $4 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{- 40 x^{3} + 96 x + 0 + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.2.2

Suma $- 40 x^{3} + 96 x$ y $0$ .

$\frac{- 40 x^{3} + 96 x + 48 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.3.3

Suma $- 40 x^{3}$ y $48 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.4

Factoriza $8 x$ de $8 x^{3} + 96 x$ .

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Paso 10.4.1

Factoriza $8 x$ de $8 x^{3}$ .

$\frac{8 x (x^{2}) + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.4.2

Factoriza $8 x$ de $96 x$ .

$\frac{8 x (x^{2}) + 8 x (12)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.4.3

Factoriza $8 x$ de $8 x (x^{2}) + 8 x (12)$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Paso 10.5

Simplifica el denominador.

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Paso 10.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{3}}$

Paso 10.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}$

Paso 10.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{8 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$