Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4}}{x - 12}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 12$ .

$\frac{(x - 12) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(x - 12) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 12$ .

$\frac{4 \cdot (x - 12) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4} - 48 x^{3}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $3 x^{3}$ de $- 48 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)}{{(x - 12)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 16)}{{(x - 12)}^{2}}$