Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} + 27$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.4

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3.2

Resta $3 x^{5}$ de $3 x^{5}$ .

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.3.3

Resta $81 x^{2}$ de $0$ .

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 7.4

Combina los términos.

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 7.4.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 81 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

Paso 7.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 81}{x^{4}}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{81}{x^{4}}$