Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} - 4 x}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x^{2} - 4)]$

Paso 4.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x^{2} - 4)]$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x^{2} - 4)]$

Paso 4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x^{2} - 4)]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x^{2} - 4)]$

Paso 4.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)]$

Paso 5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 6.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7.5

Suma $2$ y $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 13

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 13.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2

Combina los términos.

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Paso 17.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 17.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 17.2.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.3.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.5

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 17.2.6.2

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.6.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.8

Para escribir $2 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.9

Combina $2 x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.11

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 17.2.12

Suma $4 x^{\frac{3}{2}}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$