Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{3 - x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $3 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.7.2

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Suma $- 3 x^{4}$ y $2 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{4} + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{4} + 9 x^{2}$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Reordena $- x^{2}$ y $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3^{2} - x^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 5.5.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = x$ .

$\frac{x^{2} (3 + x) (3 - x)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$