Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Combina $3$ y $\frac{x^{3}}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{3 x^{3}}{9}$ y $\ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3} \ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

Paso 1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Paso 1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Paso 1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

Paso 1.3

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x - 1}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{x^{3}}{x - 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

Paso 5

Para escribir $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica $3 \ln (x - 1)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.1.6

Reescribe $- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ como $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.2.2

Reordena los factores en $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Paso 8.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$