Cálculo Ejemplos

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - e^{x}$ y $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $- e^{x}$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- e^{x} - e^{x + x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.3.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.5

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.6

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.6.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.6.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.7

Multiplica $- - e^{2 x}$ .

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Paso 6.4.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + 1 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.1.7.2

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Combina los términos opuestos en $- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}$ .

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Paso 6.4.2.1

Suma $- e^{2 x}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{- e^{x} + 0 - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.2.2

Suma $- e^{x}$ y $0$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4.3

Resta $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$