Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $1 + \ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{6}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica $6 \ln (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.3.2

Resta $x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.3.3

Reordena los factores en $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.4

Factoriza $x^{5}$ de $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Factoriza $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.4.2

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} \ln (x^{6})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Paso 5.4.3

Factoriza $x^{5}$ de $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ .

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$