Cálculo Ejemplos

$\frac{x e^{x}}{\ln (x^{2} - 1)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x e^{x}$ y $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}] - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{x^{2} - 1}$ y $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{x}{x^{2} - 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + 0)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.6

Combina fracciones.

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Paso 6.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - 2 \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.6.3

Combina $- 2$ y $\frac{e^{x} x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 6.6.4

Combina $\frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1}$ y $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x) x}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x^{1}))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{1 + 1})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{2})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 12

Para escribir $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 14

Reescribe $\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ como un producto.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 15

Multiplica $\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}$ por $\frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.2

Expande $(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 16.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) (x^{2} - 1) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1.1.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 16.1.1.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2 + 1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.3

Reescribe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ como $- (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x}) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.1.3.5

Reescribe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ como $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.1.2

Reordena los factores en $\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - x e^{x} \ln (x^{2} - 1) + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 x^{2} e^{x}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

Paso 16.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{3} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} x \ln (x^{2} - 1) + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{\ln^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}$