Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ como ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- (- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 ({(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 4.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot 0$

Paso 4.10

Simplifica la expresión.

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Paso 4.10.1

Multiplica $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ por $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + 0$

Paso 4.10.2

Suma $- 2 {(1 - x)}^{- 3}$ y $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$