Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x^{2} + 1}$ como ${(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} {(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 7.2

Combina ${(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 7.3

Mueve ${(4 x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 12

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x + 0)$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Suma $8 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} (8 x)$

Paso 13.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 13.3

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} x$

Paso 13.4

Combina $\frac{- 8}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 8 x}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13.5

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (- 4 x)}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Cancela los factores comunes.

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 x)}{2 ({(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 4 x)}{2 {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$