Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x \ln (x)}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{x \ln (x)}$ como ${(x \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la regla del producto a $x \ln (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Paso 7.3.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ y $\ln^{2} (x)$ .

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Paso 7.3.3.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Paso 7.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.3.2.1

Factoriza $\ln (x)$ de $x^{2} \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Paso 7.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Paso 7.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$