Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.8

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.9

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.10

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 2.11.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

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Paso 3.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{7}}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6})$

Paso 3.3

Combina $7$ y $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{10} x^{6}$

Paso 3.4

Combina $\frac{7}{10}$ y $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7 x^{6}}{10}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{7 x^{6}}{10} - \frac{1}{x^{4}}$