Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ como ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + e^{- x}$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Multiplica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2.2

Multiplica ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de ${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Paso 6.3

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$