Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{3}$ de $3 x^{7} - x^{3}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $3 x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

Paso 1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Paso 1.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Paso 1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

Paso 1.2.2.5

Divide $x^{2} (3 x^{4} - 1)$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{4} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.6

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3

Suma $3$ y $2$ .

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

Paso 7

Mueve $2$ a la izquierda de $3 x^{4} - 1$ .

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

Paso 8.3

Combina los términos.

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Paso 8.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

Paso 8.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

Paso 8.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

Paso 8.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

Paso 8.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

Paso 8.3.6

Suma $12 x^{5}$ y $6 x^{5}$ .

$18 x^{5} - 2 x$