Cálculo Ejemplos

$3^{\sin (π x)}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 3^{x}$ y $g (x) = \sin (π x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (π x)$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = π x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $π x$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $π x$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π x$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$3^{\sin (π x)} \ln (3) \cos (π x) π$

Paso 3.3.2

Reordena los factores de $3^{\sin (π x)} \ln (3) \cos (π x) π$ .

$π \cdot 3^{\sin (π x)} \cos (π x) \ln (3)$