Cálculo Ejemplos

$\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 e^{x} - 8$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 e^{x} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 4.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + 0)}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Suma $5 e^{x}$ y $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x} e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 7

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1

Mueve $e^{x}$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 (e^{x} e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x + x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 7.3

Suma $x$ y $x$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 8

Combina $3$ y $\frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$ .

$\frac{3 ((5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x} - 8 e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{3 (5 (e^{x} e^{x})) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (5 e^{x + x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.1.1.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{3 (5 e^{2 x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.2

Combina los términos opuestos en $15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}$ .

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Paso 9.3.2.1

Resta $15 e^{2 x}$ de $15 e^{2 x}$ .

$\frac{0 - 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.3.2.2

Resta $24 e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$