Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Paso 1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ por $1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 5.2

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de $- 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{4}$ .

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 9

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 14

Suma $1$ y $1$ .

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 y \frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 16

Combina $2$ y $\frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$y \frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 17

Combina $y$ y $\frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ .

$\frac{y (2 (- 3 x^{2} + y^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2})) + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot - 3 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.3.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{2 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.3.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.4

Reordena los términos.

$\frac{2 y^{3} - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.5

Factoriza $2 y$ de $2 y^{3} - 6 x^{2} y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.5.1

Factoriza $2 y$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y (y^{2}) - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.5.2

Factoriza $2 y$ de $- 6 x^{2} y$ .

$\frac{2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

Paso 18.5.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 y (y^{2} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$