Cálculo Ejemplos

$\frac{12}{{(x + 1)}^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12}{{(x + 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ como ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$12 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$12 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$- 36 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 36 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 36 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 36 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 36 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Paso 3.5.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$- 36 {(x + 1)}^{- 4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 36 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $- 36$ y $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 36}{{(x + 1)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{36}{{(x + 1)}^{4}}$