Cálculo Ejemplos

$\frac{100}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{100}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{1 + 49 e^{- 0.13 x}}$ como ${(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 1}$ .

$100 \frac{d}{d x} [{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

$100 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$100 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ .

$100 (- {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $100$ .

$- 100 ({(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 49 e^{- 0.13 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}])$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [49 e^{- 0.13 x}]$

Paso 3.5

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49 e^{- 0.13 x}$ con respecto a $x$ es $49 \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}]$ .

$- 100 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (49 \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}])$

Paso 3.6

Multiplica $49$ por $- 100$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.13 x}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 0.13 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 0.13 x$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 0.13 x$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} \frac{d}{d x} [- 0.13 x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $- 0.13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.13 x$ con respecto a $x$ es $- 0.13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4900 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} (- 0.13 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.2

Multiplica $- 0.13$ por $- 4900$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} (e^{- 0.13 x} \cdot 1)$

Paso 5.4

Multiplica $e^{- 0.13 x}$ por $1$ .

$637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} e^{- 0.13 x}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $637 {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2} e^{- 0.13 x}$ .

$637 e^{- 0.13 x} {(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{- 2}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$637 e^{- 0.13 x} \frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$

Paso 6.3

Multiplica $637 e^{- 0.13 x} \frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ .

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ y $637$ .

$\frac{637}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}} e^{- 0.13 x}$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{637}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$ y $e^{- 0.13 x}$ .

$\frac{637 e^{- 0.13 x}}{{(1 + 49 e^{- 0.13 x})}^{2}}$