Cálculo Ejemplos

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ y $g (x) = x + 9$ .

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $11 x^{2} + 10 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x^{2}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $11$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.8

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.9

Suma $22 x + 10$ y $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.12

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 2.13.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 2.13.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Expande $(x + 9) (22 x + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.3

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.4

Multiplica $22$ por $9$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.1.5

Multiplica $9$ por $10$ .

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.2.2

Suma $10 x$ y $198 x$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Resta $11 x^{2}$ de $22 x^{2}$ .

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Resta $10 x$ de $208 x$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Suma $90$ y $9$ .

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $11$ de $11 x^{2} + 198 x + 99$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $11$ de $11 x^{2}$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Factoriza $11$ de $198 x$ .

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Factoriza $11$ de $99$ .

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Factoriza $11$ de $11 x^{2} + 11 (18 x)$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Factoriza $11$ de $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ .

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$