Cálculo Ejemplos

$\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{3}}}{3}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sqrt{x^{2} x}}{3}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \sqrt{x})}{3}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{3}]$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3}]$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{3}]$

Paso 3.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$

Paso 4

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 9.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 10

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 11

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2}$

Paso 12

Multiplica.

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Paso 12.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}$

Paso 12.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Paso 13

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6}$

Paso 14

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}}$