Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{2} - 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 1}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 1}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$2 (- {(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{2} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 1)}^{- 2} (2 x)$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 1)}^{- 2} x$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Paso 5

Combina los términos.

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Paso 5.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 1)}^{2}} x$

Paso 5.3

Combina $x$ y $\frac{4}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 5.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$