Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.8

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.11

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 2.12

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x]$ .

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Paso 3.1

Como $- \sqrt[3]{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sqrt[3]{4} x$ con respecto a $x$ es $- \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 4.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 4.9

Resta $4$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 3})$

Paso 4.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 x^{- 3}$

Paso 5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina los términos.

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Paso 6.1.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{- 4}{x^{3}}$

Paso 6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - \frac{4}{x^{3}}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$- \frac{4}{x^{3}} + x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4}$