Cálculo Ejemplos

${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 6

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 6.3

Mueve ${(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 x^{- 3} - 5 x + 6]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{- 3} - 5 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (9 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 10

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 11

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 13

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Paso 14

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5 + 0)$

Paso 15

Suma $- 27 x^{- 4} - 5$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 x^{- 3} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Paso 16

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 x^{- 4} - 5)$

Paso 17

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 \frac{1}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Paso 18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Combina $9$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- 27 \frac{1}{x^{4}} - 5)$

Paso 18.1.2

Combina $- 27$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{- 27}{x^{4}} - 5)$

Paso 18.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$

Paso 18.2

Reordena los factores de $\frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{27}{x^{4}} - 5)$ .

$(- \frac{27}{x^{4}} - 5) \frac{2}{3 {(\frac{9}{x^{3}} - 5 x + 6)}^{\frac{1}{3}}}$