Cálculo Ejemplos

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{4 x - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = (x + 4) (x + 1)$ y $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)] - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 4$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + x + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 4 + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8.4

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.13

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.14

Simplifica la expresión.

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Paso 3.14.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 3.14.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - 4 (x + 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Expande $(4 x - 1) (2 x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x + 5) - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $2 x$ de $20 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 16) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.4

Expande $(- 4 x - 16) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x (x + 1) - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.1.3

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.1.5.2

Resta $16 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Resta $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 18 x - 5 - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $20 x$ de $18 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 5 - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Resta $16$ de $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 21}{{(4 x - 1)}^{2}}$