Cálculo Ejemplos

${(\csc (x) - \cot (x))}^{- 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x) - \cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x) - \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\csc (x) - \cot (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Paso 3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Paso 4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Paso 5

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x))$

Paso 6

Multiplica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x))$

Paso 6.2

Multiplica $\csc^{2} (x)$ por $1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x))$