Cálculo Ejemplos

${(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(3 x - 1)}^{4}$ y $g (x) = {(- 2 x + 9)}^{5}$ .

${(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 2 x + 9)}^{5}] + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = - 2 x + 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- 2 x + 9$ .

${(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

${(3 x - 1)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 x + 9$ .

${(3 x - 1)}^{4} (5 {(- 2 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(3 x - 1)}^{4}$ .

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9] + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.6

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 + 0) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} \cdot - 2 + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.7.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 x - 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x - 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x - 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (4 {(3 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(- 2 x + 9)}^{5}$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 \cdot {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 + 0)$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} \cdot 3$

Paso 5.7.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4}$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (6 (- 2 x + 9))$

Paso 6.1.3

Factoriza $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (6 (- 2 x + 9))$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$

Paso 6.2

Reordena los factores de $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$ .

$2 {(- 2 x + 9)}^{4} {(3 x - 1)}^{3} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$