Cálculo Ejemplos

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{4} + 8$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{4} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{4} + 8$ .

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.5

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $12 x^{3}$ y $0$ .

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

Paso 2.6.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Paso 3.3.2.3

Suma $3$ y $4$ .

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

Paso 3.3.3

Multiplica $24$ por $8$ .

$72 x^{7} + 192 x^{3}$