Cálculo Ejemplos

${(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 - 2 \cos (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 2 \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 6.3

Mueve ${(2 - 2 \cos (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - 2 \cos (x)]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Paso 8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)])$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 11

Simplifica los términos.

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Paso 11.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 11.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 12

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1

Factoriza $2$ de $2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 14

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Paso 15

Combina fracciones.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Paso 15.2

Multiplica $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{{(2 - 2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}}$