Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 2.5.2

Multiplica ${(x - 3)}^{5}$ por $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(x - 3)}^{4}$ de ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(x - 3)}^{4}$ de ${(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(x - 3)}^{4}$ de $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(x - 3)}^{4}$ de ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(x - 3)}^{4}$ de ${(x - 3)}^{10}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 8

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 9.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.2.2

Resta $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.2.3

Resta $15$ de $- 3$ .

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.3

Factoriza $2$ de $- 4 x - 18$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.5

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.7

Reescribe $- (2 x + 9)$ como $- 1 (2 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

Paso 10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$