Cálculo Ejemplos

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{h}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + h$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + h$ .

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + h$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3.3

Como $h$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $h$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3.4.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

Paso 3.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{5}{h}$ y ${(x + h)}^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

Paso 4.2.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{h}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

Paso 4.2.4

Combina $\frac{- 5}{h}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

Paso 4.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

Paso 4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$