Cálculo Ejemplos

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Combina ${(x^{2} + 1)}^{2}$ y $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ y ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de $3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 1)}^{2}$ de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Paso 3.6

Combina fracciones.

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Paso 3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

Paso 3.6.2

Combina $2$ y $\frac{3}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

Paso 3.6.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

Paso 3.6.4

Combina $\frac{6}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$