Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $14 x$ y $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1

Factoriza $7 e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $7 e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $7 e^{x}$ de $- 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.1.3

Factoriza $7 e^{x}$ de $7 e^{x}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $7 e^{x}$ de $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $7 e^{x}$ de $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.4.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 4.4.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.4.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Paso 4.5

Simplifica el denominador.

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Paso 4.5.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2} + 7$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $7$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

Paso 4.5.1.2

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

Paso 4.5.1.3

Factoriza $7$ de $7 (x^{2}) + 7 (1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Paso 4.5.2

Aplica la regla del producto a $7 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $7$ y $49$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $7$ de $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Factoriza $7$ de $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 4.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$