Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x}}{3 x^{2}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x}}{3 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{x^{4}}$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{3 x^{4}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores en $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{3 x^{4}}$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{3 x^{4}}$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $x$ de $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{3 x^{4}}$

Paso 6.3.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{3 x^{4}}$

Paso 6.3.1.3

Factoriza $x$ de $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{3 x^{4}}$

Paso 6.3.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{3 x^{4}}$

Paso 6.3.2.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{3 x^{4}}$

Paso 6.3.2.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{3 x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{3 x^{4}}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{3 x^{4}}$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (3 x^{3})}$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (3 x^{3})}$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{3 x^{3}}$