Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ y $g (x) = x^{2} - 25$ .

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 35$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 35$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 35$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.10

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Expande $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.4

Multiplica $2$ por $- 25$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.5

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 35$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $2 x^{2} - 50 x - 50$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Suma $- 50 x$ y $70 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $2$ de $20 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $2$ de $- 50$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe $10$ como $5$ más $5$

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 5$ .

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina exponentes.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.4

Reescribe $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.5

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.6

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.4.3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Paso 3.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Paso 3.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de ${(x - 5)}^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$