Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(7 + x)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 14 x$ y $g (x) = {(7 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{({(7 + x)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(7 + x)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 14 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 2.4

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \cdot 1) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $14$ por $1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 7 + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 u \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 (7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 4.2

Factoriza $7 + x$ de ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza $7 + x$ de ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14)$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Factoriza $7 + x$ de $- 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $7 + x$ de $(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Factoriza $7 + x$ de ${(7 + x)}^{4}$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \cdot 1}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 10

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Expande $(7 + x) (2 x + 14)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (2 x + 14) + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{14 x + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.2

Multiplica $7$ por $14$ .

$\frac{14 x + 98 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{14 x + 98 + 2 x \cdot x + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.1.5

Mueve $14$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + 14 x - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.2

Suma $14 x$ y $14 x$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $14$ por $- 2$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.2

Combina los términos opuestos en $28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{28 x + 98 + 0 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.2.2

Suma $28 x + 98$ y $0$ .

$\frac{28 x + 98 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.2.3

Resta $28 x$ de $28 x$ .

$\frac{0 + 98}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.2.2.4

Suma $0$ y $98$ .

$\frac{98}{{(7 + x)}^{3}}$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$\frac{98}{{(x + 7)}^{3}}$