Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{7 + 2 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 7 + 2 x$ .

$\frac{(7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + 2 x]}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(7 + 2 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + 2 x]}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $7 + 2 x$ .

$\frac{2 \cdot (7 + 2 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [7 + 2 x]}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - 2 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - 2 x^{2} \cdot 1}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 2.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 (7 + 2 x) x - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 7 + 2 (2 x)) x - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 x + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{14 x + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{14 x + 2 (2 (x \cdot x)) - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{14 x + 2 (2 x^{2}) - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{14 x + 4 x^{2} - 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{14 x + 2 x^{2}}{{(7 + 2 x)}^{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{2 x^{2} + 14 x}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} + 14 x$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) + 14 x}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Factoriza $2 x$ de $14 x$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (7)}{{(2 x + 7)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (7)$ .

$\frac{2 x (x + 7)}{{(2 x + 7)}^{2}}$