Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 5 x - 1$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + 0) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.8

Suma $2 x + 5$ y $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.10.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.10.2

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

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Paso 2.10.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (2 x + 5)$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

Paso 2.10.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Paso 2.10.2.3

Factoriza $x$ de $x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2$ .

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Paso 4.3.2.1

Resta $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x + 0 - 10 x + 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.2.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$\frac{5 x - 10 x + 2}{x^{3}}$

Paso 4.3.3

Resta $10 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 5 x + 2}{x^{3}}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 2}{x^{3}}$

Paso 4.5

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 2)}{x^{3}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x - 2)}{x^{3}}$

Paso 4.7

Reescribe $- (5 x - 2)$ como $- 1 (5 x - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 2)}{x^{3}}$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 x - 2}{x^{3}}$